Question

求一切实数p，使得三次方程5x³-5（p+1）x²+（71p-1）x+1=66p的三个根均为正整数．

Answer 1

分析：因为5x³-5（p+1）x²+（71p-1）x+1=66p=（x-1）（5x²-5px+66p-1）=0，所以使三次方程5x³-5（p+1）x²+（71p-1）x+1=66p的三个根均为正整数，只要考虑二次方程5x²-5px+66p-1=0的两个根为正整数即可．

解答：解：x=1是方程的一个根．于是只要考虑二次方程5x²-5px+66p-1=0的两个根为正整数即可．
设此二正整数根为u、v．则由韦达定理知，

u+v=p① uv= 1 5 (66p-1)②

消去p，得5uv-66（u+v）=-1．同乘以5：5²uv-5×66u-5×66v=-5．
∴（5u-66）（5v-66）=66²-5=4351=19×229．由于u、v均为整数，故5u-66、5v-66为整数．
∴

5u-66=1 5v-66=4351

或

5u-66=-1 5v-66=-4351

或

5u-66=19 5v-66=229

或

5u-66=-19 5v-66=-229

∴其中使u、v为正整数的，只有u=17，v=59这一组值．此时p=76．

点评：本题考查了函数零点与方程根的关系，考查了转化思想，解答此题的关键是把三次方程根的情况转化为二次方程根的情况，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．