【题目】设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的最小正周期为π,且f(﹣x)=f(x),则( )
A.f(x)在(0, )单调递增
B.f(x)在( , )单调递减
C.f(x)在( , )单调递增
D.f(x)在( ,π)单调递增
【答案】D
【解析】解:f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)= [ sin(ωx+φ)+ cos(ωx+φ)]= sin(ωx+φ+ ),
∵函数的最小正周期为2π,
∴T= =π,解得ω=2,
即f(x)= sin(2x+φ+ ),
∵f(﹣x)=f(x),
∴函数f(x)为偶函数,则φ+ = +kπ,
即φ= +kπ,
∵|φ|< ,∴当k=0时,φ= ,
即f(x)= sin(2x+ + )= sin(2x+ )= cos2x,
由2kπ﹣π≤2x≤2kπ,k∈Z,
即kπ﹣ ≤x≤kπ,k∈Z,
故函数的递增区间为[kπ﹣ ,kπ],k∈Z,
由2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z,
即kπ≤x≤kπ+ ,k∈Z,
故函数的递减区间为[kπ,kπ+ ],k∈Z,
则当k=1时,函数递增区间为[ ,π],
则f(x)在( ,π),
故选:D
【考点精析】利用两角和与差的正弦公式对题目进行判断即可得到答案,需要熟知两角和与差的正弦公式:.
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【题目】已知函数f(x)与g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)﹣g(x)=x3﹣2﹣x , 则f(2)+g(2)=( )
A.4
B.﹣4
C.2
D.﹣2
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【题目】由于当前学生课业负担较重,造成青少年视力普遍下降,现从某高中随机抽取16名学生,经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶)如图:
(Ⅰ)指出这组数据的众数和中位数;
(Ⅱ)若视力测试结果不低丁5.0,则称为“好视力”,求校医从这16人中随机选取3人,至多有1人是“好视力”的概率;
(Ⅲ)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据,若从该校(人数很多)任选3人,记ξ表示抽到“好视力”学生的人数,求ξ的分布列及数学期望.
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【题目】已知函数f(x)=alnx+b(a,b∈R),曲线f(x)在x=1处的切线方程为x﹣y﹣1=0.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)证明: ;
(Ⅲ)已知满足xlnx=1的常数为k.令函数g(x)=mex+f(x)(其中e是自然对数的底数,e=2.71828…),若x=x0是g(x)的极值点,且g(x)≤0恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】设a,b∈R,函数 ,g(x)=ex(e为自然对数的底数),且函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在x=0处有公共的切线.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅲ)若g(x)>f(x)在区间(﹣∞,0)内恒成立,求a的取值范围.
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【题目】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足acosB=bcosA.
(1)判断△ABC的形状;
(2)求sin(2A+ )﹣2cos2B的取值范围.
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【题目】已知x,y∈R,且 ,则存在θ∈R,使得xcosθ+ysinθ+1=0成立的P(x,y)构成的区域面积为( )
A.4 ﹣
B.4 ﹣
C.
D. +
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【题目】已知函数f(x)=ex﹣x2+2a+b(x∈R)的图象在x=0处的切线为y=bx.(e为自然对数的底数).
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)若k∈Z,且f(x)+ (3x2﹣5x﹣2k)≥0对任意x∈R恒成立,求k的最大值.
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【题目】甲、乙两位打字员在两台电脑上各自输入A,B两种类型的文件的部分文字才能使这两类文件成为成品.已知A文件需要甲输入0.5小时,乙输入0.2小时;B文件需要甲输入0.3小时,乙输入0.6小时.在一个工作日中,甲至多只能输入6小时,乙至多只能输入8小时,A文件每份的利润为60元,B文件每份的利润为80元,则甲、乙两位打字员在一个工作日内获得的最大利润是元.
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