Question

设数列{a_n}是公差不为零的等差数列，前n项和为S_n，满足a₂²+a₃²=a₄²+a₅²，S₇=7，则使得

am•am+1

am+2

为数列{a_n}中的项的所有正整数m的值为

 

．

Answer 1

分析：根据等差数列的通项公式及前n项和的公式分别化简已知的两等式，得到关于首项和公差的两个方程，联立两方程即可求出首项和公差的值，进而得到等差数列的通项公式a_n=2n-7，利用通项公式化简

am•am+1

am+2

，让化简得到的式子等于2n-7，然后设b=2m-3，代入得到到b+6+

8

b

=2n-7，根据

b

8

为偶数且b大于等于-1的奇数，即可得到b的值，利用b的值求出m的值，代入原题检验，即可得到满足题意的m的值．

解答：解：由a₂²+a₃²=a₄²+a₅²得：2a₁+5d=0①，
由S₇=

7(a1+a7)

2

=7a₄=7（a₁+3d）=7，得到a₁+3d=1②，
联立①②，解得：a₁=-5，d=2，
所以a_n=-5+2（n-1）=2n-7，
根据题意得：

am•am+1

am+2

=

(2m-7)(2m-5)

2m-3

=2n-7，
设2m-3=b，得到b-6+

8

b

=2n-7，得到

8

b

必须为偶数，即b=-1，1，-2，2，-4，4，
又b≥-1（数列的第三项）且b为奇数，得到b=-1或b=1，
进而得到m=1或m=2，
当m=1时，

am•am+1

am+2

=

63

5

=2n-7，解得n不为正整数，不合题意舍去，
所以满足题意的正整数m的值为2．
故答案为：2

点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，掌握等差数列的性质，是一道中档题．