Question

对于函数y=f（x），x∈D，若同时满足以下条件：
①函数f（x）是D上的单调函数；
②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
则称函数f（x）是闭函数．
（1）判断函数，x∈[1，10]；g（x）=-x³，x∈R是不是闭函数，并说明理由；
（2）若函数，x∈[-2，+∞）是闭函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（1）
令f'（x）=0
解得舍）
∵时f'（x）＜0；
时f'（x）＞0
∴f（x）在上是减函数，在上是增函数
∴函数f（x）不是[1，10]上的单调函数
∴不是闭函数．
②∵g'（x）=-x²≤0∴g（x）=-x³在R上是减函数，
设g（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
则，解得
∴存在区间[-1，1]⊆R，
使f（x）在[-1，1]上的值域也是[-1，1]
∴函数g（x）=-x³是闭函数
（2）函数在定义域上是增函数
设函数f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
则，
故a，b是方程的两个不相等的实根，
命题等价于有两个不相等的实根，
当k≤-2时，，
解得，∴．
当k＞-2时，，无解．
∴k的取值范围是
分析：（1）要判断一个函数是否是闭函数，关键是判断函数f（x）是否满足条件①函数f（x）是D上的单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]．只要有一个条件不满足，即可判定函数f（x）不是闭函数．
（2）若函数，x∈[-2，+∞）是闭函数，则其必满足①函数f（x）是D上的单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]．由于函数在定义域为增函数，故关键是要找出合适的k值，使条件②满足，即：
f（a）=a且f（b）=b，由此构造关于k的不等式组，解不等式组即可得到答案．
点评：利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′（x）＞0（或f′（x）＜0）仅是f（x）在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条件，在（a，b）内可导的函数f（x）在（a，b）上递增（或递减）的充要条件应是f′（x）≥0[或f′（x）≤0]，x∈（a，b）恒成立，且f′（x）在（a，b）的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f（x）在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′（x0）=0，甚至可以在无穷多个点处f′（x0）=0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间，因此，在已知函数f（x）是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令f′（x）≥0[或f′（x）≤0]恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解），然后检验参数的取值能否使f′（x）恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f′（x）不恒为0，则由f′（x）≥0[或f′（x）≤0]恒成立解出的参数的取值范围确定．