Question

13．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2$\sqrt{2}$，E，F分别是AD，PC的中点．
（1）证明：PC⊥平面BEF；
（2）求平面BEF与平面BAP所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，向量$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{EF}$，通过计算$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{BF}$=-2+4-2=0，$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{EF}$=2+0-2=0，推出$\overrightarrow{PC}$⊥$\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{PC}$⊥$\overrightarrow{EF}$，然后证明PC⊥平面BEF．
（2）由（1）得到平面BEF的一个法向量，求出平面BAP的一个法向量，设平面BEF与平面BAP的夹角为θ，利用空间向量的数量积求解即可．

解答 （1）证明：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

∵AP=AB=2，BC=AD=2$\sqrt{2}$，四边形ABCD是矩形，
∴A，B，C，D，P的坐标为A（0，0，0），B（2，0，0），
C（2，2$\sqrt{2}$，0），D（0，2$\sqrt{2}$，0），P（0，0，2）．
又E，F分别是AD，PC的中点，∴E（0，$\sqrt{2}$，0），F（1，$\sqrt{2}$，1）．…（2分）
∴$\overrightarrow{PC}$=（2，2$\sqrt{2}$，-2），$\overrightarrow{BF}$=（-1，$\sqrt{2}$，1），$\overrightarrow{EF}$=（1，0，1）．
∴$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{BF}$=-2+4-2=0，$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{EF}$=2+0-2=0．…（4分）
∴$\overrightarrow{PC}$⊥$\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{PC}$⊥$\overrightarrow{EF}$
∴PC⊥BF，PC⊥EF．又BF∩EF=F，
∴PC⊥平面BEF．…（6分）
（2）解：由（1）知平面BEF的一个法向量$\overrightarrow{n_1}$=$\overrightarrow{PC}$=（2，2$\sqrt{2}$，-2），…（9分）
平面BAP的一个法向量$\overrightarrow{n_2}$=$\overrightarrow{AD}$=（0，2$\sqrt{2}$，0），∴$\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}=8$．
设平面BEF与平面BAP的夹角为θ，
则cosθ=|cos$＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}＞$|=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{8}{4×2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴平面BEF与平面BAP所成的锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．