Question

曲线y=f（x）=ax³+bx²+cx，当时，f（x）有极小值，当处有极大值，且在x=1处切线的斜率为．
（I）求f（x）；
（II）曲线上是否存在一点P，使得y=f（x）的图象关于点P中心对称？若存在，请求出点P坐标，并给出证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（I）f′（x）=3ax²+2bx+c
∵当时，f（x）有极小值，当处有极大值
∴f′（1±）=0
即1±为方程3ax²+2bx+c=0的两根
∴-=（1+）+（1-）
=（1+）（1-）
∴b=-3a，c=-6a
又f（x）在x=1处切线的斜率为．
∴f′（1）=
∴3a+2b+c=
∴a=-，b=，c=1
∴f（x）=-x³+x²+x
（II）假设存在P（x₀，y₀）满足则f（x₀+x）+f（x₀-x）=2y₀，
∴-（x₀+x）³+（x₀+x）²+（x₀+x）-（x₀-x）³+（x₀-x）²+（x₀-x）=2y₀，
化简得（1-x₀）x²+x₀²+2x₀-x₀³=2y₀，
∵上式任意x∈R等式成立
∴
∴x₀=1，y₀=
∴曲线上存在P（1，）满足题意
分析：（I）根据1±是极值点可知f′（1±）=0，以及f′（1）=建立方程组，解之即可；
（II）假设存在P（x₀，y₀）满足则f（x₀+x）+f（x₀-x）=2y₀，代入函数解析式，化简整理可求出所求．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数在某点取得极值的条件，同时考查了方程组的解法，属于中档题．