Question

如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．
（1）答题卡指定的方框内已给出了该几何体的俯视图，请在方框内画出该几何体的正（主）视图和侧（左）视图；
（2）求四棱锥B-CEPD的体积；
（3）求证：BE∥平面PDA．

Answer 1

分析：（1）按照三视图所在的平面两两垂直，看不见的线用虚线，看得见的用实线画出．
（2）由PD⊥平面ABCD，PD?平面PDCE，得到平面PDCE⊥平面ABCD，因为BC⊥CD所以BC⊥平面PDCE，从而有BC为高，然后求得底的面积，最后由棱锥体积公式求解．
（3）由EC∥PD，得EC∥平面PDA，同时，有BC∥平面PDA，因为EC?平面EBC，BC?平面EBC且EC∩BC=C，得到平面BEC∥平面PDA，进而有BE∥平面PDA．

解答：解：（1）该组合体的主视图和侧视图如图示：（3分）
（2）∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PDCE
∴平面PDCE⊥平面ABCD
∵BC⊥CD∴BC⊥平面PDCE（5分）
∵S梯形PDCE=

1

2

(PD+EC)•DC=

1

2

×3×2=3--（6分）
∴四棱锥B-CEPD的体积VB-CEPD=

1

3

S梯形PDCE•BC=

1

3

×3×2=2．（8分）
（3）证明：∵EC∥PD，PD?平面PDA，EC?平面PDA
∴EC∥平面PDA，（10分）
同理可得BC∥平面PDA（11分）
∵EC?平面EBC，BC?平面EBC且EC∩BC=C
∴平面BEC∥平面PDA（13分）
又∵BE?平面EBC∴BE∥平面PDA（14分）

点评：本题主要考查空间几何体的三视图，体积和线线，线面，面面平行关系的转化，考查很全面，灵活，属中档题．