Question

已知点A（1，4），B（6，2），试问在直线x-3y+3=0上是否存在点C，使得三角形△ABC的面积等于14？若存在，求出C点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：求出AB的方程，AB的距离，设出C点的坐标，C在AB的垂线上，以及C到AB的距离和面积，求出C的坐标．

解答：解：AB=

(1-6)2+(4-2)2

=

29

，
直线AB的方程为

y-2

4-2

=

x-6

1-6

，
即2x+5y-22=0，
假设在直线x-3y+3=0上存在点C，
使得三角形ABC的面积等于14，
设C的坐标为（m，n），则一方面有m-3n+3=0①，
另一方面点C到直线AB的距离为d=

|2m+5n-22|

29

，
由于三角形ABC的面积等于14，
则

1

2

•AB•d=

1

2

•

29

•

|2m+5n-22|

29

=14，
|2m+5n-22|=28，
即2m+5n=50②或2m+5n=-6③．
联立①②解得m=

135

11

，n=

56

11

；
联立①③解得m=-3，n=0．
综上，在直线x-3y+3=0上存在点C(

135

11

，

56

11

)或（-3，0），使得三角形ABC的面积等于14．

点评：本题考查点到直线的距离，考查计算能力，是基础题．