Question

17．已知f（x）为偶函数，且f（x）在[0，+∞）单调递增，若f（ax+1）-f（x-2）≤0在$x∈[\frac{1}{2}，1]$上恒成立，则实数a的取值范围是[-2，0]．

Answer 1

分析 因为偶函数在对称区间上单调性相反，根据已知中f（x）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，易得f（x）在（-∞，0）上为减函数，又由若x∈[$\frac{1}{2}$，1]时，不等式f（ax+1）≤f（x-2）恒成立，结合函数恒成立的条件，求出x∈[$\frac{1}{2}$，1]时f（x-2）的最小值，从而可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．

解答 解：∵f（x）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数
∴f（x）在（-∞，0）上为减函数
当x∈[$\frac{1}{2}$，1]时，x-2∈[-$\frac{3}{2}$，-1]
故f（x-2）≥f（1）
若x∈[$\frac{1}{2}$，1]时，不等式f（ax+1）≤f（x-2）恒成立，
则当x∈[$\frac{1}{2}$，1]时，|ax+1|≤1恒成立，解得-2≤a≤0
故答案为[-2，0]

点评 本题的考点是函数恒成立问题，主要考查的知识点是奇偶性与单调性的综合，其中根据已知条件结合偶函数在对称区间上单调性相反，证得f（x）在（-∞，0）上为减函数，进而给出x∈[$\frac{1}{2}$，1]时f（x-2）的最小值，是解答本题的关键．