Question

【题目】在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为（2 ， ），曲线C的参数方程为 （α为参数）．
（1）直线l过M且与曲线C相切，求直线l的极坐标方程；
（2）点N与点M关于y轴对称，求曲线C上的点到点N的距离的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：M的直角坐标为（2，2），曲线C的普通方程为（x﹣1）2+y2=4．

设直线l的方程为y=k（x﹣2）+2，

联立方程组 得（1+k2）x2+（4k﹣4k2﹣2）x+4k2﹣8k+1=0，

∵直线l与曲线C相切，∴（4k﹣4k2﹣2）2﹣4（1+k2）（4k2﹣8k+1）=0，

解得k=0或k=﹣ ．

∴直线l的方程为y=2或y=﹣ （x﹣2）+2，即4x+3y﹣8=0，

∴直线l的极坐标方程为ρsinθ=2或4ρcosθ+3ρsinθ﹣8=0

（2）解：点N的坐标为N（﹣2，2），C（1，0）．

CN= = ，圆C的半径为2．

∴曲线C上的点到点N的距离最大值为 +2，最小值为 ﹣2．

曲线C上的点到点N的距离的取值范围是[ ﹣2， +2]

【解析】（1）设直线l的方程为y=k（x﹣2）+2，圆曲线C的普通方程联立消元，令判别式等于0求出k，得出直角坐标方程，再转化为极坐标方程；（2）求出N到圆心的距离，即可得出最值．