Question

10．已知函数f（x）=2sin（$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{6}$）（x∈R）．
（1）求函数f（x）周期、单调性、对称点、对称轴．
（2）设0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，f（3a+π）=$\frac{10}{13}$，f（3β+$\frac{5π}{2}$）=-$\frac{6}{5}$，求sin（α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数单调性，对称中心和对称轴，周期的计算公式即可得到结论．
（2）根据条件求出sinα，cosα，sinβ，cosβ，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．

解答 解：（1）函数的周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{3}}$=6π，
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，
解得6kπ-2π≤x≤6kπ+π，即函数的递增区间为[6kπ-2π，6kπ+π]，k∈Z，
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，
解得6kπ+π≤x≤6kπ+$\frac{4π}{3}$，即函数的递减区间为[6kπ+π，6kπ++$\frac{4π}{3}$]，k∈Z，
由2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，即x=$\frac{π}{12}$+kπ，k∈Z，
即函数的对称轴为x=$\frac{π}{12}$+kπ，k∈Z，
由2x+$\frac{π}{3}$=kπ，即x=-$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，即函数的对称中心为（-$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，0）
由$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{6}$=kπ得x=3kπ-$\frac{π}{2}$，即对称点为（3kπ-$\frac{π}{2}$，0），k∈Z，
由$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，得x=3kπ+π，即对称轴为x=3kπ+π，k∈Z．
（2）∵f（3a+π）=2sin（α+$\frac{π}{2}$）=2cosα=$\frac{10}{13}$，
∴cosα=$\frac{5}{13}$，
∵f（3β+$\frac{5π}{2}$）=2sin（β+π）=-2sinβ=-$\frac{6}{5}$，
∴sinβ=$\frac{3}{5}$，
而0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，
∴sinα=$\frac{12}{13}$，cosβ=-$\frac{4}{5}$，
∴sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=$\frac{12}{13}$×（-$\frac{4}{5}$）-$\frac{5}{13}$×$\frac{3}{5}$=-$\frac{63}{65}$．

点评 本题主要考查三角函数求值以及三角函数的图象和性质，利用两角和差的正弦公式是解决本题的关键．