Question

13．给出下列四个命题：
①函数f（x）=log_a（2x-1）-1的图象过定点（1，0）；
②已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）=x（x+1），则f（x）的解析式为f（x）=x²-|x|；
③若log_a$\frac{1}{2}$＜1，则a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）∪（2，+∞）；
④若2^-x-2^y＞lnx-ln（-y）（x＞0，y＜0），则x+y＜0．
其中所有正确命题的序号是②④．

Answer 1

分析 求出函数f（x）=log_a（2x-1）-1的图象所过定点判断①；
求出x＞0时的解析式，然后得到函数f（x）的解析式判断②；
直接求解对数不等式得到a的范围判断③；
由2^-x-2^y＞lnx-ln（-y）（x＞0，y＜0），得2^-x-lnx＞2^y-ln（-y），然后结合函数f（x）=2^-x-lnx为定义域内的减函数可得x+y＜0．

解答 解：对于①，由2x-1=1，得x=1，∴函数f（x）=log_a（2x-1）-1的图象过定点（1，-1），故①错误；
对于②，函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）=x（x+1），设x＞0，则-x＜0，∴f（x）=f（-x）=-x（-x+1）=x（x-1），则f（x）的解析式为f（x）=x²-|x|，故②正确；
对于③，由log_a$\frac{1}{2}$＜1，得log_a$\frac{1}{2}$＜log_aa，当a＞1时，不等式成立，当0＜a＜1时，解得0$＜a＜\frac{1}{2}$．
则a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞），故③错误；
对于④，由2^-x-2^y＞lnx-ln（-y）（x＞0，y＜0），得2^-x-lnx＞2^y-ln（-y），
∵函数f（x）=2^-x-lnx为定义域内的减函数，∴x＜-y，即x+y＜0，故④正确．
故答案为：②④．

点评 本题考查命题的直接判断与应用，考查了基本初等函数的性质及应用，是中档题．