Question

矩形ABCD与矩形ABEF有公共边AB，且平面ABCD⊥平面ABEF，如图，又FD=2，AD=1，EF=

3

．
（1）证明AE⊥平面FCB．
（2）求异面直线BD与AE所成角的余弦值．
（3）若M是棱AB的中点，在线段FD上是否存在一点N，使得MN∥平面FCB？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据两个平面垂直的性质定理证明BC⊥平面ABEF，可得 BC⊥AE，再证明矩形ABEF为正方形，可得 AE⊥BF，由直线和平面平行的判定定理证得AE⊥平面FCB．
（2）由于

DA

=

DB

+

BE

+

EA

，平方利用两个向量的数量积的定义可得cos＜

DB

，

EA

＞=-

6

4

，从而得到异面直线BD与AE所成角的余弦值

6

4

．
（3）分别取P，Q为DC及AF的中点，可证平面MPQ∥平面FBC，从而N为平面MPQ与FD的交点，易知N为FD的中点，由此得出结论．

解答：解：（1）证明：∵矩形ABCD与矩形ABEF有公共边AB，平面ABCD⊥平面ABEF，可得BC⊥平面ABEF，∴BC⊥AE．
又FD=2，AD=1，EF=

3

，∴AF=

FD2-AD2

=

3

=EF，∴矩形ABEF为正方形，∴AE⊥BF．
而BC、BF是平面FCB内的两条相交直线，∴AE⊥平面FCB．
（2）∵

DA

=

DB

+

BE

+

EA

，平方可得 1=4+3+6+2

DB

•

BE

+2

DB

•

EA

+2

BE

•

EA

，
即 1=13+0+2×2

6

cos＜

DB

，

EA

＞+2×

3

×

6

cos135°，
故 有 cos＜

DB

，

EA

＞=-

3 6

12

=-

6

4

，∴异面直线BD与AE所成角的余弦值

6

4

．
（3）分别取P，Q为DC及AF的中点，得MP∥BC，且MQ∥BF，故平面MPQ∥平面FBC，从而N为平面MPQ与FD的交点，易知N为FD的中点，
故在线段FD上存在中点N，使得MN∥平面FCB成立．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，证明线面垂直的方法，异面直线所成的角的定义和求法，直线和平面平行的判定定理的应用，属于中档题．