Question

（2013•惠州模拟）设函数f（x）=x³-4x+a（0＜a＜2）有三个零点x₁、x₂、x₃，且x₁＜x₂＜x₃，则下列结论正确的是（　　）

A．x₁＞-1

B．x₂＜0

C．0＜x₂＜1

D．x₃＞2

Answer 1

分析：利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，再根据f （x）的三个零点为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，求得各个零点所在的区间，从而得出结论．

解答：解：∵函数f （x）=x³-4x+a，0＜a＜2，
∴f′（x）=3x²-4．令f′（x）=0，得 x=±

2 3

3

．
∵当x＜-

2 3

3

时，f′（x）＞0；
在（-

2 3

3

，

2 3

3

）上，f′（x）＜0；
在（

2 3

3

，+∞）上，f′（x）＞0．
故函数在（-∞，-

2 3

3

）上是增函数，在（-

2 3

3

，

2 3

3

）上是减函数，在（

2 3

3

，+∞）上是增函数．
故f（-

2 3

3

）是极大值，f（

2 3

3

）是极小值．
再由f （x）的三个零点为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，
得 x₁＜-

2 3

3

，-

2 3

3

＜x₂

2 3

3

，x₃＞

2 3

3

．
根据f（0）=a＞0，且f（

2 3

3

）=a-

16 3

9

＜0，得

2 3

3

＞x₂＞0．
∴0＜x₂＜1．
故选C．

点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，属于中档题．