Question

有如下命题：
①若数列{a_n}为等比数列，则数列{lga_n}为等差数列；
②关于x的不等式ax²-ax+1＞0的解集为x∈R，则实数a的取值范围为0≤a＜4；
③在等差数列{a_n}中，若a_m+a_n=a_p+a_t（m，n，p，t∈N^*），则m+n=p+t；
④x，y满足

y≤x x+y≤1 y≥-1

，则使z=2x+y取得最大值的最优解为（2，-1）．
其中正确命题的序号为

②④

．

Answer 1

分析：①若数列{a_n}为等比数列但项中有负数，则数列{lga_n}没有意义；
②先对二次项系数分为0和不为0两种情况讨论，在不为0时，把解集为R转化为所对应图象均在x轴上方，列出满足的条件即可求实数a的取值范围．
③取数列{a_n}为常数列，即可推出该命题是假命题；
④先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过点A（2，-1）时，z最大值即可．

解答：解：对于①若数列{a_n}为等比数列但项中有负数，则数列{lga_n}没有意义；故错；
②当a=0，1＞0，符合要求；
当a≠0时，因为关于x的不等式ax²-ax+1＞0的解集为x∈R，即所对应图象均在x轴上方，
故须

a＞0 △=a2-4×a×1＜0

⇒0＜a＜4．
综上满足要求的实数a的取值范围是0≤a＜4；故正确；
③取数列{a_n}为常数列，对任意m、n、s、t∈N*，都有a_m+a_n=a_s+a_t，故错；
④根据约束条件画出可行域
直线z=x+y过点A（2，-1）时，z取最大值，故正确．
故答案为②④．

点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．本题还对二次函数的图象所在位置的考查．其中涉及到对二次项系数的讨论，在作题过程中，只要二次项系数含参数，就要分情况讨论，这也是本题的一个易错点．