Question

11．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点B（-2，0）和C（2，0），顶点A在椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1上，则$\frac{sinB+sinC}{sinA}$=2．

Answer 1

分析 首先根据所给的椭圆的方程写出椭圆的长轴的长，两个焦点之间的距离，根据正弦定理得到角的正弦值之比等于边长之比，把边长代入，再由椭圆的定义得到比值．

解答 解：∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的a=4，b=2$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{16-12}$=2，
即有B，C为两焦点，
∴a=4，即AB+AC=8，
∵△ABC顶点B（-2，0）和C（2，0），
∴BC=4，
由正弦定理知$\frac{sinB+sinC}{sinA}$=$\frac{AC+AB}{BC}$=$\frac{8}{4}$=2，
故答案为：2．

点评 本题考查椭圆的定义和正弦定理的应用，解题的关键是把角的正弦值之比写成边长之比，进而和椭圆的参数结合起来．