【题目】如图所示，在等腰梯形ABCD中，
，
，E，F为AB的三等分点，且
将
和
分别沿DE、CF折起到A、B两点重合，记为点P．
证明：平面
平面PEF；
若
，求PD与平面PFC所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
推导出四边形CDEF是平行四边形，
，
，
由
，得
，从而
面PEF，由此能证明平面
平面PEF．
在平面PEF内作
，垂足为O，取CD的中点M，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系
，利用向量法能求出PD与平面PFC所成角的正弦值．
，
，
四边形CDEF是平行四边形，
，
≌
，
，
，
，，
，
，
，
面PEF，
面PFC，平面
平面PEF．
在平面PEF内作，垂足为O，取CD的中点M，
由知平面PEF，故FC
，
平面CDEF，
，
，
，
，
，
，
，OF，OM两两垂直，
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设
，
是等边三角形，
0，
，
0，
，
2，，
2，，
0，
，
2，，
2，，
设
y，
是平面PFC的法向量，
则
，取
，得
0，
，
设PD与平面PFC所成角为
，
则
，
与平面PFC所成角的正弦值为．
课时训练江苏人民出版社系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】
已知点A(2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为
.记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明：
是直角三角形；
（ii）求面积的最大值.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】当x∈[0，1]时，下列关于函数y=
的图象与
的图象交点个数说法正确的是（ ）
A. 当
时，有两个交点B. 当
时，没有交点
C. 当
时，有且只有一个交点D. 当
时，有两个交点
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】有下列四个命题:
（1）“若
,则
,
互为倒数”的逆命题;
（2）“面积相等的三角形全等”的否命题;
（3）“若
,则
无实数解”的否命题;
（4）命题:“空间中到一个正四面体的六条棱所在的直线距离均相等的点有且只有
个”; 其中真命题（ ）
A.（1）（2）B.（2）（3）C.（1）（2）（3）D.（1）（2）（4）
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某公司生产某种产品，一条流水线年产量为
件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表：
第一段生产的半成品质量指标 |
|
|
|
第二段生产的成品为一等品概率 | 0.2 | 0.4 | 0.6 |
第二段生产的成品为二等品概率 | 0.3 | 0.3 | 0.3 |
第二段生产的成品为三等品概率 | 0.5 | 0.3 | 0.1 |
从第一道生产工序抽样调查了
件，得到频率分布直方图如图：
若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是元、
元、
元.
（Ⅰ）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；
（Ⅱ）将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；
（Ⅲ）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是
万元，使用寿命是
年，安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布
，且不影响产量.请你帮该公司作出决策，是否要购买该设备？说明理由.
（参考数据：
，
，
）
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