Question

已知函数f（x）=ax²+

1

2

x+c(a≠0）．若函数f（x）满足下列条件：①f（-1）=0；②对一切实数x，不等式f（x）≤

1

2

x2+

1

2

恒成立．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若f（x）≤t²-2at+1对?x∈[-1，1]，?a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）求证：

1

f(1)

+

1

f(2)

+…+

1

f(n)

＞

2n

n+2

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（I）由已知中：①f（-1）=0；②对一切实数x，不等式f（x）≤

1

2

x2+

1

2

恒成立．可构造关于关于c的不等式组，解不等式组求出a，c的值，可得函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）由于f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

在[-1，1]上为增函数，故f（x）≤t²-2at+1对?x∈[-1，1]，?a∈[-1，1]恒成立，可化为t²-2at+1大于f（x）的最大值对?a∈[-1，1]恒成立，求出f（x）的最大值后，根据恒成立的充要条件，构造不等式组可得实数t的取值范围；
（Ⅲ）由（I）易得

1

f(n)

=

4

(n+1)2

，利用放缩法可证得

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＞

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n-2

=

1

2

-

1

n-2

=

n

2n+4

．

解答：解：（Ⅰ）又f（-1）=0，所以a-b+c=0，即a+c=

1

2

．…（2分）
又因为f（x）≤

1

2

x2+

1

2

对一切实数x恒成立，
即对一切实数x，不等式（a-

1

2

）x²+

1

2

x+c-

1

2

≤0，
即-cx²+

1

2

x+c-

1

2

≤0恒成立．
显然，当c=0时，不符合题意．
当c≠0时，应满足

-c＜0 △= 1 4 +4c(c- 1 2 )≤0

，即

c＞0 (4c-1)2≤0

可得a=c=

1

4

所以f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

．             …（5分）
（Ⅱ）由于f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

在[-1，1]上为增函数，
∴当x=1时，f（x）取最大值1，…（6分）
若f（x）≤t²-2at+1对?x∈[-1，1]，?a∈[-1，1]恒成立，
即：1≤t²-2at+1对?a∈[-1，1]恒成立，
∴t²-2at≥0对?a∈[-1，1]恒成立，
即

t2-2×(-1)t≥0 t2-2×1×t≥0

即

t2+2t≥0 t2-2t≥0

解得t≤-2，或t=0，或t≥2
故实数t的取值范围为{t|t≤-2，或t=0，或t≥2}                 …（10分）
（Ⅲ）证明：因为f（n）=

1

4

n²+

1

2

n+

1

4

=

(n+1)2

4

，
所以

1

f(n)

=

4

(n+1)2

．…（11分）
要证不等式

1

f(1)

+

1

f(2)

+…+

1

f(n)

＞

2n

n+2

（n∈N^*）成立，
即证

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＞

n

2n+4

．
因为∵

1

(n+1)2

＞

1

(n+1)(n+2)

=

1

n-1

-

1

n-2

，
所以

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＞

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n-2

=

1

2

-

1

n-2

=

n

2n+4

．
所以

1

f(1)

+

1

f(2)

+…+

1

f(n)

＞

2n

n+2

（n∈N^*）成立．…（14分）

点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，数列求和--裂项相消法，数列与不等式的综合，求函数的解析式，是函数，数列，不等式的综合应用，其中不等式的证明要使用放缩的技巧，属于难题．