Question

6．已知函数f（x）=|a|^x是R上的减函数，解关于x的不等式x²-2ax-x+2a＜0．

Answer 1

分析 由题意可得0＜|a|＜1，即-1＜a＜0，或 0＜a＜1．关于x的不等式x²-2ax-x+2a＜0，即 （x-2a）（x-1）＜0．，分类讨论，求得x的范围．

解答 解：∵函数f（x）=|a|^x是R上的减函数，∴0＜|a|＜1，即-1＜a＜0，或 0＜a＜1．
解关于x的不等式x²-2ax-x+2a＜0，即 （x-2a）（x-1）＜0．
当-1＜a＜0，或 0＜a＜$\frac{1}{2}$时，2a＜1，求得不等式的解集为{x|2a＜x＜1}；
当a=$\frac{1}{2}$时，（x-2a）（x-1）＜0的解集为∅；
当$\frac{1}{2}$＜a＜1时，2a＞1，求得不等式的解集为{x|1＜x＜2a}．

点评 本题主要考查指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．