Question

定义：对于任意n∈N^*，满足条件且a_n≤M（M是与n无关的常数）的无穷数列a_n称为T数列．
（1）若a_n=-n²+9n（n∈N^*），证明：数列a_n是T数列；
（2）设数列b_n的通项为，且数列b_n是T数列，求常数M的取值范围；
（3）设数列（n∈N^*，p＞1），问数列b_n是否是T数列？请说明理由．

Answer 1

解：（1）由a_n=-n²+9n，得a_n+a_n+2-2a_n+1=-n²+9n-（n+2）²+9（n+2）+2（n+1）²-18（n+1）=-2
所以数列a_n满足．（2分）
又，当n=4或5时，a_n取得最大值20，即a_n≤20．
综上，数列a_n是T数列．（4分）
（2）因为，
所以当即n≤11时，b_n+1-b_n＞0，此时数列b_n单调递增（6分）
当n≥12时，b_n+1-b_n＜0，此时数列b_n单调递减；故数列b_n的最大项是b₁₂，
所以，M的取值范围是（9分）
（3）①当1＜p≤2时，当n=1时，
由得，
即当时符合条件．（11分）
若n≥2，则，此时
于是
又对于n∈N^*有，
所以当时数列c_n是T数列；（13分）
②当2＜p≤3时，
取n=1则：，
由，所以2＜p≤3时数列c_n不是T数列．（15分）
③当p＞3时，
取n=1则，
由，所以p＞3时数列c_n不是T数列．（17分）
综上：当时数列c_n是T数列；当时数列c_n不是T数列．（18分）
分析：（1）由a_n=-n²+9n，得a_n+a_n+2-2a_n+1=-n²+9n-（n+2）²+9（n+2）+2（n+1）²-18（n+1）=-2，所以数列a_n满足．由此能够证明数列a_n是T数列．
（2）因为，所以当即n≤11时，b_n+1-b_n＞0，此时数列b_n单调递增．当n≥12时，b_n+1-b_n＜0，此时数列b_n单调递减；故数列b_n的最大项是b₁₂，由此能求出M的取值范围．
（3）当1＜p≤2时，对于n∈N^*有，所以当时数列c_n是T数列；当2＜p≤3时，数列c_n不是T数列．当p＞3时，数列c_n不是T数列．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．