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2.已知二次函数满足f(0)=-1,且对任意x都有f(x+1)=f(x)+2x+1,又g(x)=x+1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若当x∈[1,2]时,不等式f(x)≥t[g(x)-1]恒成立,求实数t的取值范围;
(3)设函数F(x)=$\frac{f(x)+1+a}{g(x)-1}$+b,若对任意a∈[$\frac{1}{2}$,2],不等式F(x)≤10在x∈[$\frac{1}{4}$,1]上恒成立,求实数b的取值范围.

分析 (1)运用待定系数法,设二次函数f(x)=mx2+nx+t,由条件得到方程,解方程可得系数,进而得到解析式;
(2)由题意可得x2-1≥tx,即t≤x-$\frac{1}{x}$在x∈[1,2]恒成立,求得右边函数的最小值,即可得到t的范围;
(3)化简F(x),由x+$\frac{a}{x}$+b≤10在任意a∈[$\frac{1}{2}$,2]恒成立,运用一次函数的单调性又对x∈[$\frac{1}{4}$,1]恒成立,运用单调性求得最大值,可得b的不等式,进而得到b的范围.

解答 解:(1)设二次函数f(x)=mx2+nx+t,
由f(0)=-1可得t=-1,
对任意x都有f(x+1)=f(x)+2x+1,可得
m(x+1)2+n(x+1)+t=mx2+nx+t+2x+1,
可得2m=2,m+n=1,解得m=1,n=0,
则f(x)=x2-1;
(2)当x∈[1,2]时,不等式f(x)≥t[g(x)-1]恒成立,
即为x2-1≥tx,即t≤x-$\frac{1}{x}$在x∈[1,2]恒成立,
由x-$\frac{1}{x}$在x∈[1,2]递增,可得x=1取得最小值0,
即有t≤1;
(3)函数F(x)=$\frac{f(x)+1+a}{g(x)-1}$+b=$\frac{{x}^{2}+a}{x}$+b=x+$\frac{a}{x}$+b,
不等式F(x)≤10在x∈[$\frac{1}{4}$,1]上恒成立,即为
x+$\frac{a}{x}$+b≤10在任意a∈[$\frac{1}{2}$,2]恒成立,
即有x+$\frac{1}{2x}$≤10-b且x+$\frac{2}{x}$≤10-b,
又对x∈[$\frac{1}{4}$,1]恒成立,即有
$\frac{1}{4}$+2≤10-b且$\frac{1}{4}$+8≤10-b,
即为b≤$\frac{31}{4}$且b≤$\frac{7}{4}$,
解得b≤$\frac{7}{4}$.

点评 本题考查函数的解析式的求法,考查不等式恒成立问题的解法,注意运用参数分离和函数的单调性,考查运算能力,属于中档题.

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