Question

17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π）的部分图象如图所示
（1）写出函数f（x）的最小正周期及解析式（不要求解题过程）
（2）将函数f（x）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求函数g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f（x）的解析式．
（2）由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的增区间求得函数g（x）的增区间．

解答 解：（1）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象可得A=1，再根据$\frac{T}{4}$=$\frac{1}{4}$×$\frac{2π}{ω}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$，求得ω=2，最小正周期T=π．
再根据五点法作图可得2×$\frac{π}{3}$+φ=π，求得φ=$\frac{π}{3}$，∴函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）把f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）的图象，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得2kπ-$\frac{5π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{6}$，
可得函数g（x）的增区间为[2kπ-$\frac{5π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的增区间，属于中档题．