Question

【题目】已知一四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点．
（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．
（Ⅱ）若点E为PC的中点，AC∩BD=O，求证：EO∥平面PAD；
（Ⅲ）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，

侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．

∴VP﹣ABCD= SABCDPC= ．

（Ⅱ）证明：∵E、O分别为PC、BD中点

∴EO∥PA，

又EO平面PAD，PA平面PAD．

∴EO∥平面PAD．

（Ⅲ）不论点E在何位置，都有BD⊥AE，

证明如下：∵ABCD是正方形，

∴BD⊥AC，

∵PC⊥底面ABCD且BD平面ABCD，

∴BD⊥PC，

又∵AC∩PC=C，

∴BD⊥平面PAC，

∵不论点E在何位置，都有AE平面PAC，

∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE．

【解析】（Ⅰ）四棱锥的底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱与底面垂直，由这条侧棱长是2知四棱锥的高是2，求四棱锥的体积只要知道底面大小和高，就可以得到结果．（Ⅱ）利用三角形中位线的性质证明OE∥PA，由线面平行的判定定理可证EO∥平面PAD；（Ⅲ）不论点E在何位置，都有BD⊥AE，证明BD⊥平面PAC即可．