Question

选修4-5：不等式选讲
若关于x的方程 x²-4x+|a|+|a-3|=0有实根
（1）求实数a的取值集合A
（2）若存在a∈A，使得不等式t²-2a|t|+12＜0成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据关于x的方程 x²-4x+|a|+|a-3|=0有实根，可得△≥0，解不等式即可求得结果；
（2）存在a∈A，使得不等式t²-2a|t|+12＜0成立，构造函数f（a）=t²-2a|t|+12，转化为函数的最小值小于零即可，解此不等式即可求得实数t的取值范围．

解答：解：（1）∵关于x的方程 x²-4x+|a|+|a-3|=0有实根，
∴△=16-4（|a|+|a-3|）≥0，
即-

1

2

≤a≤

7

2

，
∴A=[-

1

2

，

7

2

]；
（2）令f（a）=t²-2a|t|+12，
∵存在a∈A，使得不等式t²-2a|t|+12＜0成立，
∴f（a）_min＜0即可，即f（

7

2

）=t²-7|t|+12＜0，
∴3＜|t|＜4，
∴-4＜t＜-3或3＜t＜4．

点评：本题考查二次函数的根的问题，别更主元，构造函数f（a）=t²-2a|t|+12，转化为函数的最小值是解题的关键和难点，考查运算能力和转化能力，属中档题．