Question

3．已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）已知x∈[0，1]
（i）若a=b=1，求函数f（x）的值域；
（ii）若函数f（x）的值域为[0，1]，求a，b的值；
（Ⅱ）当|x|≥2时，恒有f（x）≥0，且f（x）在区间（2，3]上的最大值为1，求a²+b²的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）（i）根据二次函数的性质即可求出函数的值域，
（ii）根据二次函数的性质，分类讨论即可求出，
（Ⅱ）因为若|x|≥2时，f（x）≥0，且f（x）在区间（2，3]上的最大值为1，f（x）在区间（2，3]上的最大值只能在闭端点取得，故有f（2）≤f（3）=1，从而a≥-5且b=-3a-8．在分类讨论基础上，将以上关系变为不等式组，消去c可得b的取值范围，最后将a²+b²转化为a的函数，求其值域可得a²+b²的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）（i），由已知，得f（x）=x²+x+1=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
又x∈[0，1]，
∴f（x）∈[1，3]，
∴函数f（x）的值域的值域为[1，3]，
（ii）函数y=f（x）的对称轴方程为x=-$\frac{a}{2}$
①当-$\frac{a}{2}$≤0时，即a≥0时，函数f（x）在[0，1]上单调性递增，可得$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=0}\\{f（1）=1}\end{array}\right.$，解得a=b=0，
②当-$\frac{a}{2}$≥1时，即a≤-2时，函数f（x）在[0，1]上单调性递减，可得$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=1}\\{f（1）=0}\end{array}\right.$，解得a=-2，b=1，
③0＜-$\frac{a}{2}$＜$\frac{1}{2}$时，即-1＜a＜0时，
$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=1}\\{f（-\frac{a}{2}）=0}\end{array}\right.$，解得a=-4，b=4，或a=b=0（舍去），
④当$\frac{1}{2}$≤-$\frac{a}{2}$＜1，即-2＜a≤-1时，$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=1}\\{f（-\frac{a}{2}）=0}\end{array}\right.$，解得a=±2，b=1，舍去，
综上所述a=b=0，或a=-2，b=1
（Ⅱ）由题意函数图象为开口向上的抛物线，且f（x）在区间（2，3]上的最大值只能在闭端点取得，
故有f（2）≤f（3）=1，从而a≥-5且b=-3a-8．
①若f（x）=0有实根，则△=a²-4b≥0，
在区间[-2，2]有$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）≥0}\\{f（2）≥0}\\{-2≤\frac{a}{2}≤2}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{4-2a+b≥0}\\{4+2a+b≥0}\\{-4≤a≤4}\end{array}\right.$，将b=3a-8代入，整理得$\left\{\begin{array}{l}{a≤-\frac{4}{5}}\\{a≤-4}\\{-4≤a≤4}\end{array}\right.$即a=-4，这时b=4，且△=0．
②若f（x）=0无实根，则△=a²-4b＜0，将b=-3a-8代入解得-8＜a＜-4．
综上-5≤a≤-4．
所以a²+b²=a²+（-3a-8）²=10a²+48a+64，在[-5，-4]单调递减，
故（a²+b²）_min=32，（a²+b²）_max=74．

点评 本题是典型的二次函数最值问题，解题需要灵活运用初等数学思想，包括数形结合，分类讨论，函数思想，转化且探究意识要强．