Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足2S_n+a_n=1．数列{b_n}中，b1=1，b2=

1

2

，

2

bn+1

=

1

bn

+

1

bn+2

(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）数列{c_n}满足cn=

an

bn

，是否存在正整数k，使得n≥k时c₁+c₂+…+c_n＞S_n恒成立？若存在，求k的最小值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）由2S_n+a_n=1，得Sn=

1

2

(1-an)．当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

2

(1-an)-

1

2

(1-an-1)=-

1

2

an+

1

2

an-1，所以an=

1

3

×(

1

3

)n-1=(

1

3

)n．由此能求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
（2）cn=

an

bn

=n(

1

3

)n，设T_n=c₁+c₂+…+c_n，则Tn=1×(

1

3

)1+2×(

1

3

)2+3×(

1

3

)4+…+n×(

1

3

)n，再由错位相减能导出所求的正整数k存在，其最小值为2．

解答：解：（1）由2S_n+a_n=1，得Sn=

1

2

(1-an)．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

2

(1-an)-

1

2

(1-an-1)=-

1

2

an+

1

2

an-1，
即2an=-an+an-1∴

an

an-1

=

1

3

（由题意可知a_n-1≠0）．
∴{a_n}是公比为

1

3

的等比数列，
而S1=a1=

1

2

(1-a1)，
∴a1=

1

3

．∴an=

1

3

×(

1

3

)n-1=(

1

3

)n．（3分）
由

2

bn+1

=

1

bn

+

1

bn+2

，
得

1

b1

=1，

1

b2

=2，d=

1

b2

-

1

b1

=1，
∴

1

bn

=n，
∴bn=

1

n

．（6分）
（2）cn=

an

bn

=n(

1

3

)n，
设T_n=c₁+c₂+…+c_n，则Tn=1×(

1

3

)1+2×(

1

3

)2+3×(

1

3

)3•••+n×(

1

3

)n，①

1

3

Tn=1(

1

3

)2+2(

1

3

)3+…+n(

1

3

)n+1②
（①-②）×

3

2

，化简得Tn=

3

4

-

3

4

×(

1

3

)n-

1

2

n×(

1

3

)n=

3

4

-

2n+3

4

•

1

3n

．（10分）
而Sn=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2

-

1

2×3n

，（11分） 
 S1=T1=

1

3

，Tn，Sn都随n的增大而增大，
当n≥2时Tn-Sn=

1

4

(1-

2n+1

3n

)＞0，
∴T_n＞S_n，所以所求的正整数k存在，其最小值为2．（13分）

点评：本题考查数列与不等式的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．