Question

14．若函数f（x）=sinωx+$\sqrt{3}$cosωx（x∈R，ω＞0），又f（α）=-2，f（β）=0，且|α-β|的最小值为$\frac{3π}{4}$，则函数g（x）=f（x）-1在[-2π，0]上零点的个数为1．

Answer 1

分析 由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$），由|α-β|的最小值为$\frac{3π}{4}$可得周期，可得ω值，进而可得g（x）=2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$）-1，令2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$）-1=0结合题目的范围可得．

解答 解：化简可得f（x）=sinωx+$\sqrt{3}$cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0），
又∵|α-β|的最小值为$\frac{3π}{4}$，∴$\frac{T}{4}$=$\frac{2π}{4ω}$=$\frac{3π}{4}$，T为函数周期，
∴ω=$\frac{2}{3}$，∴g（x）=f（x）-1=2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$）-1，
令2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$）-1=0可得$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{6}$或$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
解得x=3kπ-$\frac{π}{4}$或x=3kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈Z，
结合x∈[-2π，0]可知当且仅当k=0时，有x=-$\frac{π}{4}$符合题意．
故答案为：1．

点评 本题考查两角和与差的正弦函数，涉及三角函数的周期性和零点，属中档题．