分析 由题意可判断函数f(x)是R上的偶函数,且可判断在[0,+∞)上是增函数;从而可得x-1=x2-2x+1或x-1=-(x2-2x+1),从而解得,即可求出子集的个数.
解答 解:∵f(x)=$(\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^x}+1}})$•x
∴f(-x)=(-x)($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{-x}+1}$)
=x($\frac{1}{{2}^{-x}+1}$-$\frac{1}{2}$)=$(\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^x}+1}})$•x=f(x),
∴函数f(x)是R上的偶函数,
∵f′(x)=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$+$\frac{x•{2}^{x}•ln2}{({2}^{x}+1)}$,
∴当x≥0时,f′(x)≥0;
故函数f(x)在[0,+∞)上是增函数;
∵f(x-1)=f(x2-2x+1),
∴x-1=x2-2x+1或x-1=-(x2-2x+1),
∴x=1或x=2或x=0,
∴所有实根构成的集合的非空子集个数为23-1=7
故答案为:7
点评 本题考查了导数的综合应用及函数的性质的判断与应用,关键是判断函数的单调性,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{π}{3}$ | B. | $\frac{π}{4}$ | C. | $\frac{π}{6}$ | D. | $\frac{π}{12}$ |
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