Question

已知过点P （

3

，0）的直线l交圆O：x²+y²=1于A、B两点，且

PA

=2

PB

，则△AOB的面积为（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  2

  4

• C．

  3

  4

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：由点P （

3

，0），

PA

=2

PB

，可知点B为线段PA的中点，于是

OB

=

1

2

(

OA

+

OP

)，即

OP

=2

OB

-

OA

，两端平方后可求得

OA

•

OB

的值，从而可求得cos∠AOB，利用S_△AOB=

1

2

|

OA

|•|

OB

|sin∠AOB即可求得其值．

解答：解：∵点P （

3

，0），且

PA

=2

PB

，
∴点B为线段PA的中点，
∴

OB

=

1

2

(

OA

+

OP

)，
整理得：

OP

=2

OB

-

OA

，
上式两端平方后得：|

OP

|2=4|

OB

|2-4

OA

•

OB

+|

OA

|2，又|

OP

|=

3

，|

OA

|=

|OB

|=1，
∴3=4-4•

OA

•

OB

+1，整理得：

OA

•

OB

=|

OA

|•

|OB

|•cos∠AOB=

1

2

，
∴cos∠AOB=

1

2

，又∠AOB为三角形AOB中的一个内角，
∴∠AOB=

π

3

．
S_△AOB=

1

2

|

OA

|•|

OB

|sin∠AOB=

1

2

•1•1•

3

2

=

3

4

．
故选C．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，难点在于从向量的角度进行研究，解决问题的关键点在于得到

OB

=

1

2

(

OA

+

OP

)之后，整理得：

OP

=2

OB

-

OA

，然后两边平方，从而使解决问题之路顺畅起来，属于难题．