Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞0 ， b＞0)的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），若椭圆上存在点P（异于长轴的端点），使得csin∠PF₁F₂=asin∠PF₂F₁，则该椭圆离心率的取值范围是

2

-1≤e＜1

．

Answer 1

分析：根据正弦定理与题中等式，算出

|PF1|

|PF2|

=e（e是椭圆的离心率）．作出椭圆的左准线l，作PQ⊥l于Q，根据椭圆的第二定义得

|PF1|

|PQ|

=e，所以|PQ|=|PF₂|=

|PF1|

e

．设P（x，y），将|PF₁|、|PF₂|表示为关于a、c、e、x的式子，利用|PF₂|+|PF₁|=2a解出x=

ae-a

e(e+1)

．最后根据椭圆上点的横坐标满足-a≤x≤a，建立关于e的不等式并解之，即可得到该椭圆离心率的取值范围．

解答：解：∵△PF₁F₂中，由正弦定理得

|PF1|

sin∠PF2F1

=

|PF2|

sin∠PF1F2

，
∴

|PF1|

|PF2|

=

sin∠PF2F1

sin∠PF1F2

．
又∵csin∠PF₁F₂=asin∠PF₂F₁，
∴

sin∠PF2F1

sin∠PF1F2

=

c

a

=e（e为椭圆的离心率），由此可得

|PF1|

|PF2|

=e，
作出椭圆的左准线l，设P在l上的射影为点Q，连结PQ，
由椭圆的第二定义，得

|PF1|

|PQ|

=e，因此|PQ|=|PF₂|=

|PF1|

e

．
设P（x，y），可得|PQ|=x+

a2

c

，
∴|PF₂|=x+

a2

c

，|PF₁|=e|PF₂|=e（x+

a2

c

）．
由椭圆的第一定义，得|PF₂|+|PF₁|=2a，即（1+e）（x+

a2

c

）=2a，解得x=

2a

1+e

-

a2

c

=

ae-a

e(e+1)

．
∵P（x，y）为椭圆上一点，满足-a≤x≤a，
∴-a≤

ae-a

e(e+1)

≤a，即-1≤

e-1

e(e+1)

≤1，解之得e≤-1-

2

或e≥

2

-1
∵椭圆的离心率e∈（0，1），∴该椭圆离心率的取值范围是

2

-1≤e＜1．
故答案为：

2

-1≤e＜1

点评：本题给出椭圆上点P满足到左、右焦点的距离之比等于离心率e，求离心率的取值范围．着重考查了正弦定理、椭圆的定义与简单几何性质和不等式的解法等知识，属于中档题．