Question

【题目】已知圆过圆与直线的交点，且圆上任意一点关于直线的对称点仍在圆上．

（1）求圆的标准方程；

（2）若圆与轴正半轴的交点为，直线与圆交于两点，且点是的垂线（垂心是三角形三条高线的交点），求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）因为圆过圆与直线的交点，所以设圆的方程为，圆上任意一点关于直线的对称点仍在圆上，所以直线过圆的圆心，由条件知圆心，故，解得的值，即可求得圆的标准方程；

（2）由题知，，所以直线的斜率为1，设直线的方程为，与圆方程联立，由韦达定理，再结合，求得的值即可．

试题解析：（1）设圆的方程为，由条件知圆心在直线上，故，解得．

于是所求圆的标准方程为．

（2）由题知，，所以直线的斜率为1，设直线的方程为，

，由，得，

故，，

又

代入得，解得或

当时，直线过点，不合题意；

当时，直线，经检验证直线与圆相交，

故所求直线的方程为．