Question

已知函数f（x）=loga

x-3

x+3

，g（x）=f（x）+x³+2
（1）若g（t）=3求g（-t）的值
（2）若f（x）的定义域为[α，β），值域为（log_aa（β-1），log_aa（α-1）]
①求证：a＞3
②若函数f（x）为[α，β）上的减函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意先求出函数的定义域和f（-x），判断出函数f（x）是奇函数，再代入求出g（t）+g（-t）=4，由g（t）=3求g（-t）=1；
（2）①根据（1）求出的函数f（x）的定义域和真数大于零，求出α的范围；
②先用分离常数法判断真数对应的函数在定义域上的单调性，再由对数函数的单调性和“同增异减”得出底数a的范围，根据值域列出关于α与β的方程，再转化为对应二次方程的两个不同的根，由根的分布列出关于a的不等式组，进行求解注意a的范围；

解答：解：（1）由题意得

x-3

x+3

＞0，得x＞3或x＜-3；（1分）
∵f（-x）=loga

-x-3

-x+3

=loga

x+3

x-3

=-loga

x-3

x+3

=f（-x）
∴f（x）为奇函数；（3分）
∵g（x）=f（x）+x³+2，g（t）=3
∴g（t）+g（-t）=f（t）+t³+2+f（-t）+（-t）³+2=4
∴g（t）+g（-t）=4．故g（-t）=1（5分）
（2）由（1）知f（x）的定义域（-∞，-3）∪（3，+∞）
①∵a（α-1）＞0且a＞0，则α＞1，
又∵已知f（x）的定义域为[α，β），
∴β＞α＞3．则α＞3．（8分）
②∵函数y=

x-3

x+3

=1-

6

x+3

在其定义域[α，β）上为增函数，
又∵f（x）在[α，β）上为减函数，∴0＜a＜1；（9分）
∵f（x）的定义域为[α，β），值域为（log_aa（β-1），log_aa（α-1）]
∴

log

α-3 α+3 a

=log_a^a（α-1）且

log

β-3 β+3 a

=log_aa（β-1），
说明α，β 是方程

x-3

x+3

=a(x-1)的两个相异实数根，且β＞α＞3，
即方程ax²+（2a-1）x+3-3a=0在区间（3，+∞）内有两相异实根．
设h（x）=ax²++（2a-1）x+3-3a，
则有

△=(2a-1)2-4a(3-3a)＞0 - 2a-1 2a ＞3 h(3)＞0

，解

a＜ 2- 3 4 或a＞ 2+ 3 4 a＜ 1 8 a＞0

又∵0＜a＜1，
综上解得：0＜a＜

2- 3

4

，
∴满足条件的a的取值范围是（0，

2- 3

4

）．（14分）

点评：本题是有关函数性质的综合题，利用函数的奇偶性求值；利用复合函数的单调性求出参数的范围和解决值域问题，考查了转化思想和二次函数对应方程的根的分布问题，是难度较大的题．