Question

如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，AD=

3

，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（Ⅰ）求三棱锥E-PAD的体积；
（Ⅱ）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．

Answer 1

分析：本题考查了空间几何体的体积、线面位置关系的判定、线面垂直等知识点，
（Ⅰ）利用换底法求V_P-ADE即可；（Ⅱ）利用三角形的中位线及线面平行的判定定理解决；
（Ⅲ）通过证明AF⊥平面PBE即可解决．

解答：解：（Ⅰ）三棱锥E-PAD的体积V=

1

3

PA•S△ADE=

1

3

PA•(

1

2

AD•AB)=

3

6

．（4分）
（Ⅱ）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．（5分）
∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，
∴EF∥PC，又EF?平面PAC，而PC?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．（8分）
（Ⅲ）证明：
∵PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，
∴EB⊥PA，又EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP?平面PAB，
∴EB⊥平面PAB，又AF?平面PAB，
∴AF⊥BE．（10分）
又PA=AB=1，点F是PB的中点，
∴AF⊥PB，
又∵PB∩BE=B，PB，BE?平面PBE，
∴AF⊥平面PBE．
∵PE?平面PBE，
∴AF⊥PE．（12分）

点评：无论是线面平行（垂直）还是面面平行（垂直），都源自于线与线的平行（垂直），这种“高维”向“低维”转化的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的平行（垂直）关系，再从结论入手分析所要证明的平行（垂直）关系，从而架起已知与未知之间的桥梁．