练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    （2012•普陀区一模）设点F是抛物L：y2=2px（p＞0）的焦点，P1，P2，…，Pn是抛物线L上的n个不同的点n（n≥3，n∈N*）．
    （1）当p=2时，试写出抛物线L上三点P1、P2、P3的坐标，时期满足|
    FP1
    |+|
    FP2
    |+|
    FP3
    |=6    ；
    （2）当n≥3时，若
    FP1
    +
    FP2
    +…+
    FPn
    =
    0
    ，求证：|
    FP1
    |+|
    FP2
    |+…+|
    FPn
    |=np    ；
    （3）当n＞3时，某同学对（2）的逆命题，即：“若|
    FP1
    |+| 
    FP2
    |+…+|  
    FPN
    |=np    ，则
    FP1
    +
    FP2
    +…+
    FPN
    =
    0
    ”开展了研究并发现其为假命题．
    请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：
    1．试构造一个说明该命题确实是假命题的反例；
    2．对任意给定的大于3的正整数n，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由：
    3．如果补充一个条件后能使该命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由．
    分析：（1）抛物线l的焦点为F（
    p
    2
    ，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），利用抛物线的定义可得x1+x2+x3=3，故可取满足条件的三点；
    （2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分别过P1、P2、P3，…，Pn作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，…，Qn，利用抛物线的定义可得x1+x2+x3+…+xn=
    np
    2
    ，从而可证
    |FP1
    |+|
    FP2
    |+…+|
    FPn
    |    =np
    （3）①取n=4时，抛物线l的焦点为F（
    p
    2
    ，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），P4（x4，y4），分别过P1、P2、P3，P4作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，Q4，利用抛物线的定义，可得x1+x2+x3+x4=2p，从而可得结论；
    ②设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分别过P1、P2、P3，…，Pn作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，…，Qn，利用抛物线的定义，可得x1+x2+x3+…+xn=
    np
    2
    ，从而可得结论；
    ③补充条件：点Pi的纵坐标满足y1+y2+…+yn=0，即当n＞3时，|
    FP1
    |+| 
    FP2
    |+…+|  
    FPn
    |=np    ，点Pi的纵坐标满足y1+y2+…+yn=0，则
    FP1
    +
    FP2
    +…+
    FPn
    =
    0
    ．
    解答：解：（1）抛物线l的焦点为F（
    p
    2
    ，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），
    分别过P1、P2、P3作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，
    ∴|
    FP1
    |+|
    FP2
    |+|
    FP3
    |    =（x1+
    p
    2
    ）+（x2+
    p
    2
    ）+（x3+
    p
    2
    ）=x1+x2+x3+
    3p
    2
    =6
    ∵p=2，∴x1+x2+x3=3
    故可取P1（
    1
    2
    ，
    		2
    ），P2（1，2），P3（
    3
    2
    ，
    		6
    ）满足条件；
    （2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分别过P1、P2、P3，…，Pn作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，…，Qn
    ∴
    |FP1
    |+|
    FP2
    |+…+|
    FPn
    |    =（x1+
    p
    2
    ）+（x2+
    p
    2
    ）+（x3+
    p
    2
    ）+…+（xn+
    p
    2
    ）=x1+x2+x3+…+xn+
    np
    2

    ∵
    FP1
    +
    FP2
    +…+
    FPn
    =
    0
               
    ∴x1+x2+x3+…+xn=
    np
    2

    ∴
    |FP1
    |+|
    FP2
    |+…+|
    FPn
    |    =
    np
    2
    +
    np
    2
    =np
    （3）①取n=4时，抛物线l的焦点为F（
    p
    2
    ，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），P4（x4，y4），分别过P1、P2、P3，P4作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，Q4，
    ∴
    |FP1
    |+|
    FP2
    |+…+|
    FP4
    |    =x1+x2+x3+x4+2p=4p
    ∴x1+x2+x3+x4=2p
    不妨取P1(
    p
    4
    ，
    		2
    p
    2
    )    ，P2(
    p
    2
    ，p)    ，P3(
    p
    2
    ，-p)    ，P4(
    3p
    4
    ，
    		6
    p
    2
    )    ，则
    FP1
    +
    FP2
    +…+
    FP4
    ≠
    0

    故P1(
    p
    4
    ，
    		2
    p
    2
    )    ，P2(
    p
    2
    ，p)    ，P3(
    p
    2
    ，-p)    ，P4(
    3p
    4
    ，
    		6
    p
    2
    )    是一个当n=4时，该逆命题的一个反例；
    ②设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分别过P1、P2、P3，…，Pn作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，…，Qn
    ∵|
    FP1
    |+| 
    FP2
    |+…+|  
    FPn
    |=np    ，∴x1+x2+x3+…+xn+
    np
    2
    =np，∴x1+x2+x3+…+xn=
    np
    2

    因为上述表达式与点的纵坐标无关，所以将这n点都取在x轴的上方，则它们的纵坐标都大于0，则
    FP1
    +
    FP2
    +…+
    FPn
    =（0，y1+y2+…+yn）≠
    0

    ③补充条件：点Pi的纵坐标满足y1+y2+…+yn=0，即当n＞3时，|
    FP1
    |+| 
    FP2
    |+…+|  
    FPn
    |=np    ，点Pi的纵坐标满足y1+y2+…+yn=0，则
    FP1
    +
    FP2
    +…+
    FPn
    =
    0

    由②知，命题为真．
    点评：本题考查抛物线的定义，考查向量的运算，解题的关键是正确运用抛物线的定义，难度较大．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•普陀区一模）
    e
    1    ，
    e
    2    是两个不共线的向量，已知
    AB
    =2
    e
    1    +k
    e
    2    ，
    CB
    =
    e
    1    +3
    e
    2
    CD
    =2
    e
    1    -
    e
    2    ，且A，B，D三点共线，则实数k=
    -8
    -8
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•普陀区一模）设全集为R，集M={x|
    x2
    4
    +y2=1    }，N={x|
    x-3
    x+1
    ≤0    }，则集合{x|(x+
    3
    2
    )    2    +y2=
    1
    4
    }可表示为（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•普陀区一模）已知数列{an}是首项为2的等比数列，且满足an+1=pan+2n(n∈N*)
    （1）求常数p的值和数列{an}的通项公式；
    （2）若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、…第3n-2项，…，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列{bn}，试写出数列
    {bn}的通项公式；
    （3）在（2）的条件下，设数列{bn}的前n项和为Tn，是否存在正整数n，使得
    Tn+1
    Tn
    =
    11
    3
    ？若存在，试求所有满足条件的正整数n的值，若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•普陀区一模）对于平面α、β、γ和直线a、b、m、n，下列命题中真命题是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•普陀区一模）函数y=
    1
    		log
    1
    2
    |x-1|
    的定义域是
    （0，1）∪（1，2）
    （0，1）∪（1，2）
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案