Question

19．设区间[q，p]的长度为p-q，其中p＞q．现已知两个区间[4lnm，ln²m]与[lnm，4lnm-10]的长度相等，则e^x+1+me^-x的最小值为（　　）

• A． 2e³
• B． $2{e^{\frac{3}{2}}}$或2e³
• C． $2{e^{\frac{3}{2}}}$
• D． $2{e^{\frac{3}{2}}}$或2e²

Answer 1

分析 两个区间[4lnm，ln²m]与[lnm，4lnm-10]的长度相等，可得ln²m-4lnm=4lnm-10-lnm，解得m=e⁵．则e^x+1+me^-x=e^x+1+e^5-x=f（x）．利用导数研究其单调性即可得出．

解答 解：∵两个区间[4lnm，ln²m]与[lnm，4lnm-10]的长度相等，∴ln²m-4lnm=4lnm-10-lnm，
∴ln²m-7lnm+10=0，
解得lnm=2或lnm=5．
其中lnm=2舍去．
∴m=e⁵．
则e^x+1+me^-x=e^x+1+e^5-x=f（x）．
f′（x）=e^x+1-e^5-x，令f′（x）=0，解得x=2．
可知：当x=2时，则e^x+1+e⁵e^-x=2e³．
故选：A．

点评 本题考查了对数的运算法则、指数幂的运算性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．