Question

【题目】如图所示，在四棱锥E-ABCD中，平面ABCD⊥平面AEB，且四边形ABCD为矩形．∠BAE=90°，AE=4，AD=2，F，G，H分别为BE，AE，AD的中点．

（Ⅰ）求证：CD∥平面FGH；

（Ⅱ）求证：平面FGH⊥平面ADE；

（Ⅲ）在线段DE求一点P，使得AP⊥FH，并求出AP的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）根据三角形中位线性质以及矩形性质得CD∥FG，再根据线面平行判定定理得结论，（Ⅱ）先根据线面垂直判定定理得AB⊥平面ADE，再根据平行得GF⊥平面ADE，最后根据面面垂直判定定理得结论，（Ⅲ）作AP⊥DE于P，再根据线面垂直判定与性质定理得AP⊥FH，再根据面面垂直性质定理得AE⊥平面ABCD，即得AE⊥AD，最后根据直角三角形解得AP的值．

（Ⅰ）证明：在矩形ABCD中，CD∥AB，

∵F，G分别为BE，AE的中点，∴FG∥AB，∴CD∥FG，

∵CD平面FGH，FG平面FGH，

∴CD∥平面FGH．

（Ⅱ）证明：在矩形ABCD中，AD⊥AB，又∵∠BAE=90°，∴AB⊥AE，又AD∩AE=A

∴AB⊥平面ADE，又GF∥AB∴GF⊥平面ADE，

∵GF平面FGH，∴平面FGH⊥平面ADE．

（Ⅲ）作AP⊥DE于P，∵GF⊥平面ADE，且AP平面ADE，∴GF⊥AP，

∵G，H分别为AE，AD的中点，∴GH∥DE, ∵AP⊥DE∴GH⊥AP

∵GF∩GH=G，∴AP⊥平面FGH，

∵FH平面FGH，∴AP⊥FH，

∵矩形ABCD⊥平面AEB，且平面ABCD∩平面AEB=AB，

∴AE⊥平面ABCD，∴AE⊥AD，

在直角三角形AED中，AE=4，AD=2，可求得．故AP的值为：．