Question

如图，DC⊥平面ABC，EA∥DC，AB=AC=AE=

1

2

DC，M为BD的中点．
（Ⅰ）求证：EM∥平面ABC；
（Ⅱ）求证：平面AEM⊥平面BDC．

Answer 1

分析：（I）取BC的中点N，连接MN，AN，易证EANM是平行四边形，从而得EM∥AN，利用线面平行的判定定理即可证得EM∥平面ABC；
（II）依题意，易证EM⊥平面BDC，利用面面垂直的判定定理即可证得平面AEM⊥平面BDC．

解答：证明：（I）取BC的中点N，连接MN，AN，
因为M为BD的中点，所以MN∥DC，且MN=

1

2

DC，
而EA∥DC且EA=

1

2

DC，
∴EA

∥

.

MN，
∴EANM是平行四边形…2分
∴EM∥AN…3分
又因为EM?平面ABC，AN?平面ABC，
∴EM∥平面ABC，…5分
（II）
∵AB=AC，N为BC的中点，
∴AN⊥BC．
∵DC⊥平面ABC，AN?平面ABC，
∴DC⊥AN，
又DC∩BC=C，
∴AN⊥平面BDC，…7分
又AN∥EM，
∴EM⊥平面BDC，…9分
∵EM?平面AEM，
∴平面AEM⊥平面BDC…10分

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，考查直线与平面平行的判断，（Ⅰ）中证得EANM是平行四边形，（Ⅱ）中证得EM⊥平面BDC是关键，考查推理证明的能力，属于中档题．