Question

13．已知函数f（x）=ln（x+a）-sinx．给出下列命题：
①当a=0时，?x∈（0，e），都有f（x）＜0；
②当a≥e时，?x∈（0，+∞），都有f（x）＞0；
③当a=1时，?x₀∈（2，+∞），使得f（x₀）=0．
其中真命题的个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根据函数值得特点，逐一判断即可．

解答 解：对于①当a=0时，f（x）=lnx-sinx，当x=$\frac{5π}{6}$时，f（$\frac{5π}{6}$）=ln$\frac{5π}{6}$-sin$\frac{5π}{6}$＞ln$\sqrt{e}$-$\frac{1}{2}$=0，故不正确，
对于②a≥e时，?x∈（0，+∞），ln（x+a）＞lne=1，-1≤sinx≤1，则f（x）＞0恒成立，故正确，
对于③当a=1时，f（x）=ln（x+1）-sinx，当x＞2时，x+1＞3，故ln（x+1）＞1，故f（x）＞0恒成立，故不正确，
故选：B

点评 本题考查了函数的单调性和命题的真假，属于基础题．