Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=x|x-m|（m＞0），
（1）当x＜0时，求f（x）的表达式；
（2）求f（x）在区间[0，2]上的最大值g（m）的表达式；
（3）当m=2时，记h（x）=f（f（x））-a（a∈R），试求函数y=h（x）的零点个数．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数奇偶性的性质

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：（1）由偶函数的性质可解得f（x）=f（-x）=（-x）|-x-m|=-x|x+m|；
（2）化简f（x）=

x(x-m)，x≥m x(m-x)，0≤x＜m

；从而分类讨论函数的最值；
（3）当m=2时，f（x）=

x|x-2|，x≥0 -x|x+2|，x＜0

；f（f（x））=

x|x-2||x|x-2|-2|，x≥0 -x|x+2||x|x+2|+2|，x＜0

，h（x）=f（f（x））-a的零点个数即函数h（x）与函数y=a的交点的个数，
作函数的图象求解．

解答： 解：（1）当x＜0时，-x＞0；
∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（x）=f（-x）=（-x）|-x-m|=-x|x+m|；
（2）f（x）=

x(x-m)，x≥m x(m-x)，0≤x＜m

；
①当0＜m≤2时，
当0＜x＜m时，当x=

m

2

时，f（x）_max=

m2

4

；
当x≥m时，x=2时有最大值f（2）=2（2-m）；
由

m2

4

-2（2-m）=

m2+8m-16

4

＜0解得，
0＜m＜4

2

-4；
故当0＜m＜4

2

-4时，f（x）_max=2（2-m）；
当4

2

-4≤m≤2时，f（x）_max=

m2

4

；
当2＜m＜4时，当x=

m

2

时，f（x）_max=

m2

4

；
当m≥4时，当x=2时有最大值为f（2）=2（m-2）；
综上所述，g（m）=

2(2-m)，0＜m＜4 2 -4 m2 4 ，4 2 -4≤m＜4 2(m-2)，m≥4

；
（3）当m=2时，f（x）=

x|x-2|，x≥0 -x|x+2|，x＜0

；
f（f（x））=

x|x-2||x|x-2|-2|，x≥0 -x|x+2||x|x+2|+2|，x＜0

，
h（x）=f（f（x））-a的零点个数即函数h（x）与函数y=a的交点的个数，
作函数h（x）与函数y=a的图象如下，

当a=1时，有6个交点，当a＞1时，有两个交点，
当0＜a＜1时，有10个交点，
当a=0时，有5个交点，
当a＜0时，没有交点；
即当a=1时，函数y=h（x）的零点个数为6，
当a＞1时，函数y=h（x）的零点个数为2，
当0＜a＜1时，函数y=h（x）的零点个数为10，
当a=0时，函数y=h（x）的零点个数为5，
当a＜0时，函数y=h（x）没有零点．

点评：本题考查了函数的性质的判断与应用及函数的图象的应用，属于基础题．