Question

数列{a_n}（n∈N^*）中，a₁=a，a_n+1是函数的极小值点．
（Ⅰ）当a=0时，求通项a_n；
（Ⅱ）是否存在a，使数列{a_n}是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）当a=0时，a₁=0，则3a₁＜1²．由f'_n（x）=x²-（3a_n+n²）x+3n²a_n=（x-3a_n）（x-n²）=0，得x₁=3a_n，x₂=n²．由函数的单调性知f_n（x）在x=n²取得极小值．所以a₂=1²=1．因为3a₂=3＜2²，则，a₃=2²=4，因为3a₃=12＞3³，则a₄=3a₃=3×4，又因为3a₄=36＞4²，则a₅=3a₄=3²×4，由此猜测：当n≥3时，a_n=4×3^n-3．然后用数学归纳法证明：当n≥3时，3a_n＞n²．
（Ⅱ）存在a，使数列{a_n}是等比数列．事实上，若对任意的n，都有3a_n＞n²，则a_n+1=3a_n．要使3a_n＞n²，只需对一切n∈N^*都成立．当x≥2时，y'＜0，从而函数在这[2，+∞）上单调递减，故当n≥2时，数列{b_n}单调递减，即数列{b_n}中最大项为．于是当a＞时，必有．由此能导出存在a，使数列{a_n}是等比数列，且a的取值范围为．
解答：解：（I）当a=0时，a₁=0，则3a₁＜1²．
由题设知f'_n（x）=x²-（3a_n+n²）x+3n²a_n=（x-3a_n）（x-n²）．
令f'_n（x）=0，得x₁=3a_n，x₂=n²．
若3a_n＜n²，则
当x＜3a_n时，f'_n（x）＞0，f_n（x）单调递增；
当3a_n＜x＜n²时，f'_n（x）＜0，f_n（x）单调递减；
当x＞n²时，f'_n（x）＞0，f_n（x）单调递增．
故f_n（x）在x=n²取得极小值．
所以a₂=1²=1
因为3a₂=3＜2²，则，a₃=2²=4
因为3a₃=12＞3³，则a₄=3a₃=3×4，
又因为3a₄=36＞4²，则a₅=3a₄=3²×4，
由此猜测：当n≥3时，a_n=4×3^n-3．
下面先用数学归纳法证明：当n≥3时，3a_n＞n²．
事实上，当n=3时，由前面的讨论知结论成立．
假设当n=k（k≥3）时，3a_k＞k²成立，则由（2）知，a_k+1=3a_k＞k²，
从而3a_k+1-（k+1）²＞3k²-（k+1）²=2k（k-2）+2k-1＞0，
所以3a_k+1＞（k+1）²．
故当n≥3时，3a_n＞n²成立．
于是，当n≥3时，a_n+1=3a_n，而a₃=4，因此a_n=4×3^n-3．
综上所述，当a=0时，a₁=0，a₂=1，a_n=4×3^n-3（n≥3）．

（Ⅱ）存在a，使数列{a_n}是等比数列．
事实上，若对任意的n，都有3a_n＞n²，则a_n+1=3a_n．即数列{a_n}是首项为a，公比为3的等比数列，且a_n=a•3^n-3．
而要使3a_n＞n²，即a•3ⁿ＞n²对一切n∈N^*都成立，只需对一切n∈N^*都成立．
记，则，．
令，则．
因此，当x≥2时，y'＜0，从而函数在这[2，+∞）上单调递减，
故当n≥2时，数列{b_n}单调递减，即数列{b_n}中最大项为．
于是当a＞时，必有．这说明，当时，数列a_n是等比数列．
当a=时，可得，而3a₂=4=2²，由（3）知，f₂（x）无极值，不合题意，
当时，可得a₁=a，a₂=3a，a₃=4，a₄=12，…，数列{a_n}不是等比数列．
当时，3a=1=1²，由（3）知，f₁（x）无极值，不合题意．
当时，可得a₁=a，a₂=1，a₃=4，a₄=12，，数列{a_n}不是等比数列．
综上所述，存在a，使数列{a_n}是等比数列，且a的取值范围为．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．