【题目】已知函数.
(Ⅰ)当时,求函数的极小值;
(Ⅱ)设定义在上的函数在点处的切线方程为:,当时,若在内恒成立,则称为函数的“转点”.当时,试问函数是否存在“转点”?若存在,求出转点的横坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)当时,函数取到极大值为,当时,函数取到极小值为-2.
(2)函数存在“转点”,且2是“转点”的横坐标.
【解析】试题分析:(1)先求导,令导数大于0得增区间,令导数小于0得减区间,根据单调性求最值. (2)求导,根据导数的几何意义得点处切线的斜率,根据点斜式得切线方程,从而可得的解析式,因为是函数图像和切线的交点,则.将函数求导,用导数求其单调性,讨论的取值范围判断是否恒成立.
试题解析:解:(1)当时,
当,当,
所以函数在和单调递增,在单调递减,
所以当时,函数取到极大值为,
当时,函数取到极小值为-2. 6分
(2)当时,函数在其图像上一点处的切线方程为
8分
设
且
当时,在上单调递减,
所以当时,;
当时,在上单调递减,
所以当时,;
所以在不存在“转点” 11分
当时,,即在上是增函数.
当时,当时,即点为“转点”.
故函数存在“转点”,且2是“转点”的横坐标. 12分
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【题目】已知椭圆的左右焦点与其短轴得一个端点是正三角形的三个顶点,点在椭圆上,直线与椭圆交于两点,与轴, 轴分别相交于点合点,且,点时点关于轴的对称点, 的延长线交椭圆于点,过点分别做轴的垂线,垂足分别为.
(1) 求椭圆的方程;
(2)是否存在直线,使得点平分线段?若存在,请求出直线的方程;若不存在,请说明理由。
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【题目】拖延症总是表现在各种小事上,但日积月累,特别影响个人发展.某校的一个社会实践调查小组,在对该校学生进行“是否有明显拖延症”的调查中,随机发放了110份问卷.对收回的100份有效问卷进行统计,得到如下列联表:
有明显拖延症 | 无明显拖延症 | 合计 | |
男 | 35 | 25 | 60 |
女 | 30 | 10 | 40 |
合计 | 65 | 35 | 100 |
(Ⅰ)按女生是否有明显拖延症进行分层,已经从40份女生问卷中抽取了8份问卷,现从这8份问卷中再随机抽取3份,并记其中无明显拖延症的问卷的份数为,试求随机变量的分布列和数学期望;
(Ⅱ)若在犯错误的概率不超过的前提下认为无明显拖延症与性别有关,那么根据临界值表,最精确的的值应为多少?请说明理由.
附:独立性检验统计量,其中.
独立性检验临界值表:
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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【题目】某公司试销一种成本单价为500元的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价,又不高于800元.经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似看作一次函数y=kx+b(k≠0),函数图象如图所示.
(1)根据图象,求一次函数y=kx+b(k≠0)的表达式;
(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S元.试问销售单价定为多少时,该公司可获得最大毛利润?最大毛利润是多少?此时的销售量是多少?
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【题目】已知是定义在上的奇函数,且.若对任意的, 都有.
(1)用函数单调性的定义证明: 在定义域上为增函数;
(2)若,求的取值范围;
(3)若不等式对所有的 和都恒成立,求实数的取值范围.
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