Question

已知f（x）=

log

(4x+1) 4

+kx是偶函数，其中x∈R，且k为常数．
（1）求k的值；
（2）记g（x）=4^f（x）求x∈[0，2]时，函数个g（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=

log

(4x+1) 4

+kx是偶函数，根据偶函数的定义f（-x）=f（x），得到一个恒等式，利用对应系数相等，求得k的值；
（2）把（1）求得的f（x）代入g（x）中，利用函数的单调性求得函数的最大值．

解答：解：（1）由函数f（x）=

log

(4x+1) 4

+kx是偶函数，
可知f（-x）=f（x），
即

log

(4x+1) 4

+kx=

log

(4-x+1) 4

-kx
即

log	4x+1 4-x+1 4

=-2kx∴

log

4x 4

=-2kx，
即x=-2kx对x∈恒成立，
∴k=-

1

2

（2）g（x）=

4x+1

2x

=2x+

1

2x

∵x∈[0，2]，∴1≤2^x≤4
∴g（x）在区间[0，2]上单调递增
∴g（x）_max=

9

4

点评：此题考查函数的奇偶性和对数的运算性质，及利用函数的单调性求函数的最值，体现了换元的思想方法．属中档题．