Question

（2012•德阳二模）已知a、b∈R，a²+ab+b²=3，则a²-ab+b²的取值范围是

[1，9]

．

Answer 1

分析：由基本不等式得：a²+b²≥|2ab|，结合已知条件中的等式，得|2ab|≤3-ab，从而解出-3≤ab≤1，由此代入a²-ab+b²，可得所求的取值范围．

解答：解：∵a²+ab+b²=3，∴a²+b²=3-ab
∵由基本不等式，得a²+b²≥|2ab|，
∴|2ab|≤3-ab，得-3+ab≤2ab≤3-ab
解这个不等式，得-3≤ab≤1
∴-2ab∈[-2，6]
∵a²-ab+b²=（a²+ab+b²）-2ab=3+（-2ab）
∴a²-ab+b²∈[1，9]，
当且仅当a=b=1时，a²-ab+b²的最小值为1；当a=-b=

3

时，a²-ab+b²的最大值为9
故答案为：[1，9]

点评：本题以不等式为载体，求变量的取值范围，着重考查了用基本不等式求最值和简单的演绎推理等知识，属于基础题．