Question

【题目】已知是函数的极值点.

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求证：函数存在唯一的极小值点，且.

（参考数据：）

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见证明

【解析】

(Ⅰ)根据求得；通过导数验证函数的单调性，可知时极值点为，满足题意；(Ⅱ)根据(Ⅰ)可知极小值点位于，此时的零点，且此时为极小值点，代入得到关于的二次函数，求解二次函数值域即可证得结论.

(Ⅰ)因为，且是极值点

所以，所以

此时

设 ，则

则当时，，为减函数

又

当时，，则为增函数

当 时，，则为减函数

此时为的极大值点，符合题意

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，时，不存在极小值点

当时，，为增函数，且 ，

所以存在

结合(Ⅰ)可知当时，，为减函数； 时，，为增函数，所以函数存在唯一的极小值点

又 ，所以

且满足 .

所以

由二次函数图象可知：

又，