Question

18．已知定义在R上的函数f（x）为奇函数，且在[0，+∞）是增函数，问是否存在这样的实数m，使得f（2cos²θ-4）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）对所有的实数θ∈R都成立；若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 根据f（x）为奇函数，可得到函数f（x）在R上的单调性，且f（0）=0，原不等式可化为f（cos2θ-3）＞f（2mcosθ-4m），即cos2θ-3＞2mcosθ-4m，令t=cosθ，原不等式可转化为t∈[-1，1]时，是否存在m∈R，使得g（t）=t²-mt+2m-2＞0恒成立，将m分离出来利用基本不等式即可求出m的取值范围．

解答 解：∵f（x）为奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，
则f（x）在R上为增函数，且f（0）=0，
所以原不等式可化为f（2cos²θ-4）＞f（2mcosθ-4m），
∴2cos²θ-4＞2mcosθ-4m，即cos²θ-mcosθ+2m-2＞0．
令t=cosθ，则原不等式可转化为：
当t∈[-1，1]时，是否存在m∈R，使得g（t）=t²-mt+2m-2＞0恒成立．
由t²-mt+2m-2＞0，t∈[-1，1]，
得m＞$\frac{2-{t}^{2}}{2-t}$=t-2+$\frac{2}{t-2}$+4，t∈[-1，1]，
令h（t）=（2-t）+$\frac{2}{2-t}$，
即当且仅当t=2-$\sqrt{2}$时，h（t）_min=2$\sqrt{2}$，
故m＞（t-2+$\frac{2}{t-2}$）_max=4-2$\sqrt{2}$．
即存在这样的m，且m∈（4-2$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，以及利用基本不等式求最值，同时考查了转化的思想，属于中档题．