Question

【题目】设函数f（x）=lnx﹣x+1．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜ ＜x；
（3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞cx ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：函数f（x）=lnx﹣x+1的导数为f′（x）= ﹣1，

由f′（x）＞0，可得0＜x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1．

即有f（x）的增区间为（0，1）；减区间为（1，+∞）；

（2）

证明：当x∈（1，+∞）时，1＜ ＜x，即为lnx＜x﹣1＜xlnx．

由（1）可得f（x）=lnx﹣x+1在（1，+∞）递减，

可得f（x）＜f（1）=0，即有lnx＜x﹣1；

设F（x）=xlnx﹣x+1，x＞1，F′（x）=1+lnx﹣1=lnx，

当x＞1时，F′（x）＞0，可得F（x）递增，即有F（x）＞F（1）=0，

即有xlnx＞x﹣1，则原不等式成立；

（3）

证明：设G（x）=1+（c﹣1）x﹣cx，G′（x）=c﹣1﹣cxlnc，

可令G′（x）=0，可得cx= ，

由c＞1，x∈（0，1），可得1＜cx＜c，即1＜ ＜c，

由（1）可得cx= 恰有一解，设为x=x0是G（x）的最大值点，且0＜x0＜1，

由G（0）=G（1）=0，且G（x）在（0，x0）递增，在（x0，1）递减，

可得G（x0）=1+（c﹣1）x0﹣cx0＞0成立，

则c＞1，当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞cx．

【解析】（1）求出导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域；（2）由题意可得即证lnx＜x﹣1＜xlnx．运用（1）的单调性可得lnx＜x﹣1，设F（x）=xlnx﹣x+1，x＞1，求出单调性，即可得到x﹣1＜xlnx成立；（3）设G（x）=1+（c﹣1）x﹣cx ， 求出导数，可令G′（x）=0，由c＞1，x∈（0，1），可得1＜ ＜c，由（1）可得cx= 恰有一解，设为x=x0是G（x）的最小值点，运用最值，结合不等式的性质，即可得证．；本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，求出导数判断单调性，考查推理和运算能力，属于中档题．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)．