Question

【题目】已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2﹣2x﹣3（x＞0）．
（Ⅰ） 若函数g（x）=|f（x）|﹣a有4个零点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ） 求|f（x+1）|≤4的解集．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因为f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=x2﹣2x﹣3（x＞0）， 则
从而可得函数y=f（x）与y=|f（x）|的图象分别如下图所示．

因为函数g（x）=|f（x）|﹣a有4个零点，
则题设可等价转化为函数y=|f（x）|与函数y=a的图象有4个交点．
由右上图可知，a=4或0＜a≤3，
即：当a=4或0＜a≤3时，函数g（x）=|f（x）|﹣a有4个零点．
（Ⅱ）令f（x）=4得， 或﹣1，
因为f（x）是定义在R上的奇函数，当f（x）=﹣4时，解得 或1
结合左上图可知， ，
即： ．
所以所求解集为
【解析】（Ⅰ）利用f（x）是定义在R上的奇函数，求出函数的解析式，画出函数y=f（x）与y=|f（x）|的图象，利用函数g（x）=|f（x）|﹣a有4个零点，转化为函数y=|f（x）|与函数y=a的图象有4个交点．推出实数a的取值范围即可．（Ⅱ）令f（x）=4得， 或﹣1，利用函数f（x）是定义在R上的奇函数，结合图象，求解即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．