Question

（本小题满分12分）
设函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．  

Answer 1

（1）函数的单调递增区间为．（2）．

本题考查导数的工具作用，考查学生利用导数研究函数的单调性的知识．考查学生对方程、函数、不等式的综合问题的转化与化归思想，将方程的根的问题转化为函数的图象交点问题，属于综合题型．
（1）确定出函数的定义域是解决本题的关键，利用导数作为工具，求出该函数的单调递增区间即为f'（x）＞0的x的取值区间；
（2）方法一：利用函数思想进行方程根的判定问题是解决本题的关键．构造函数，研究构造函数的性质尤其是单调性，列出该方程有两个相异的实根的不等式组，求出实数a的取值范围．
方法二：先分离变量再构造函数，利用函数的导数为工具研究构造函数的单调性，根据题意列出关于实数a的不等式组进行求解
解：（1）函数的定义域为，………………………………………………1分
∵，     ………………………………………2分
∵，则使的的取值范围为，
故函数的单调递增区间为．       ……………………………………………4分
（2）方法1：∵，
∴．      …………………………6分
令，              
∵，且，
由．
∴在区间内单调递减，在区间内单调递增，     ……………………8分
故在区间内恰有两个相异实根      ……10分
即解得：．
综上所述，的取值范围是．      ………………………………12分
方法2：∵，
∴．      …………………………6分
即，
令， ∵，且，
由．
∴在区间内单调递增，在区间内单调递减．……………………8分
∵，，，
又，
故在区间内恰有两个相异实根．
……………………………………10分
即．
综上所述，的取值范围是．  ……………………………12分