Question

（2011•武昌区模拟）已知点P（x，y）与点A(-

2

，0)，B(

2

，0)连线的斜率之积为1，点C的坐标为（1，0）．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）过点Q（2，0）的直线与点P的轨迹交于E、F两点，求证

CE

•

CF

为常数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直线PA和PB的斜率分别为

y

x+ 2

与

y

x- 2

，（x≠±

2

），由题设知

y

x+ 2

• 

y

x- 2

=1，由此能求出点P的轨迹方程．
（Ⅱ）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），设过点Q（2，0）的直线为y=k（x-2），将它代入x²-y²=2，得（k²-1）x²-4k²x+4k²+2=0．由韦达定理，得

x1+x2= 4k2 k2-1 x1x2= 4k2+2 k2-1

，由此能求出

CE

•

CF

=-1．直线斜率不存在时，E（2，

2

），F（2，-

2

），

CE

•

CF

=-1．所以

CE

•

CF

为常数-1．

解答：（本题满分12分）
解：（Ⅰ）直线PA和PB的斜率分别为

y

x+ 2

与

y

x- 2

，（x≠±

2

），…（2分）
∵点P（x，y）与点A(-

2

，0)，B(

2

，0)连线的斜率之积为1，
∴

y

x+ 2

• 

y

x- 2

=1，
即y²=x²-2，…（4分）
所求点P的轨迹方程为x²-y²=2，（x≠±

2

）．…（5分）
（Ⅱ）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
设过点Q（2，0）的直线为y=k（x-2），…（6分）
将它代入x²-y²=2，
得（k²-1）x²-4k²x+4k²+2=0．…（7分）
由韦达定理，得

x1+x2= 4k2 k2-1 x1x2= 4k2+2 k2-1

，…（8分）
∴

CE

•

CF

=(x1-1，y1)•(x2-1，y2)
=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂
=x1x2-(x1+x2)+1+k2(x1-2)•(x2-2)
=（1+k²）x₁x₂-（1+2k²）（x₁+x₂）+1+4k²
=（1+k²）•

4k2+2

k2-1

-（1+2k²）•

4k2

k2-1

+1+4k²
=-1．    …（10分）
当直线斜率不存在时，

x2-y2=2 x=2

，解得E（2，

2

），F（2，-

2

），
此时

CE

•

CF

=(1，

2

)•(1，-

2

)=-1．    …（12分）
故

CE

•

CF

=-1．
所以

CE

•

CF

为常数-1．…（12分）

点评：本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．