Question

7．已知函数f（x）=2sinx+2sin（x-$\frac{π}{3}$）
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知f（A）=$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{3}$b，证明：C=3B．

Answer 1

分析 （1）根据两角差的正弦公式即可将f（x）变成f（x）=$2\sqrt{3}sin（x-\frac{π}{6}）$，根据正弦函数的单调增区间即可求出函数f（x）的单调增区间；
（2）A带入f（x）便可得出sin（A$-\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，从而可得到A=$\frac{π}{3}$，而由正弦定理及a=$\sqrt{3}b$即可得到sinA=$\sqrt{3}$sinB，从而得到sinB=$\frac{1}{2}$，B=$\frac{π}{6}$，从而得到C=$\frac{π}{2}$，从而得出C=3B．

解答 解：（1）f（x）=2sinx+2sin（x-$\frac{π}{3}$）=2sinx+2（sinxcos$\frac{π}{3}$-cosxsin$\frac{π}{3}$）=2sinx+sinx-$\sqrt{3}$cosx=3sinx-$\sqrt{3}$cosx=2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$cosx）=2$\sqrt{3}$sin（x-$\frac{π}{6}$）；
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，得到-$\frac{π}{3}$+2kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+2kπ，k∈Z；
则f（x）的单调递增区间为[-$\frac{π}{3}$+2kπ，$\frac{2π}{3}$+2kπ]，k∈Z；
（2）证明：由f（A）=2$\sqrt{3}$sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$，得到sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$；
∵0＜A＜π；
∴$-\frac{π}{6}＜A-\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$；
∴$A-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$；
∴$A=\frac{π}{3}$；
根据正弦定理，由a=$\sqrt{3}b$得sinA=$\sqrt{3}sinB$；
∴$sinB=\frac{1}{2}$；
$0＜B＜\frac{2π}{3}$；
∴$B=\frac{π}{6}$；
∴$C=π-A-B=π-\frac{π}{3}-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$；
∴C=3B．

点评 考查两角差的正弦公式，三角形的内角和为π，正弦函数的单调区间，复合函数单调区间的求法，以及正弦定理，已知三角函数值求角．